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没啥好说的，暴解 $$\begin{eqnarray} && \prod_{i=l}^{r}\prod_{j=l}^{r} \frac{ij}{gcd(i,j)}^{\frac{ij}{gcd(i,j)}} \ \end{eqnarray}$$ 设 $f(x,y)=\prod_{i=1}^{x}\prod_{j=1}^{y} \frac{ij}{gcd(i,j)}^{\frac{ij}{gcd(i,j)}}$ 那么答案则为 $$\frac{f(r,r)f(l-1,l-1)}{f(l-1,r)f(r,l-1)}$$ $$\begin{eqnarray} f(x,y)&=&\prod_{i=1}^{x}\prod_{j=1}^{y} \frac{ij}{gcd(i,j)}^{\frac{ij}{gcd(i,j)}}\ &=&\prod_{d=1}^{y}\prod_{i=1}^{x}\prod_{j=1}^{y}...

很妙的思路转换 显然扫描线，一个很自然的想法是用数据结构维护 $f_i$ 表示左端点为 $i$ 时…的答案，然后单点查询，但是我们发现当 $l$ 不同时，其对应的答案其实也是不好维护的 考虑这么转换，假设查询区间为 $[l,r]$ ，其内部有一个子区间 $[l’,r’]$ ，那么合法的 $l’$ 一定是 $[l,r]$ 的一段前缀，发现通过这么转化可以成功的将单点查询转化为区间查询 这样有什么好处呢？首先我们可以二分得到这个前缀的具体区间，接下来对于这个前缀内的每个 $l’$ 一定能够找到一个对应的 $r’$ 使得其合法，所以说即使对于不同的 $l$ ，只要其被包含在前缀区间内，那么他的答案都是相同的，记其为 $f_i$ ，那么我们最后要求的其实就是 $$\min_{p \in [l_e,r_e]}f_{p}-p+1$$ 然后我们发现当我们对应的 $r \leftarrow r+1$ 时，我们只需要更新 $i \in [las_{a_r},r]$ 的 $f_{i}\leftarrow r$ 即可 然后就做完了

分子总动能：所有分子动能的总和 分子平均动能：分子总动能的平均值 温度：衡量平均动能的值 注意：分子动能与动能无关

温度越高，热运动越剧烈，峰值越靠右，但不是所有分子的运动速率都加快 无论温度高低，速率很大，速率很小的永远都是少数

首先根据定义有 $I=\frac{Q}{t},F=qvB\sin\theta$ 那么对于一段导体，设其内部的自由电子电荷量为 $Q’$ ，那么有每秒运动了导体中 $\frac{I}{Q’}$ 的电子，由于导体质地均匀，故这部分电子运动了 $\frac{I}{Q’}L$ 米每秒，故电子的运动速率为 $\frac{I}{Q’}L$ 那么最后面受到的安培力为其所有自由电子受到的洛伦兹力的总和，即 $$Q’ \frac{I}{Q’}LB =BIL$$

布朗运动 定义：悬浮在液体/气体中的微粒/颗粒所做的无规则运动 根本原因：液体或气体分子对微粒的无规则热运动(宏观运动，可以被观察到) 影响因素：温度越高越显著 意义：间接的反映了气体或液体分紫的无规则运动

考虑在水面上形成单分子油层，假设加入的体积为 $V$ ，油滴在水面上的面积为 $S$，那么有油滴分子的直径 $d=\frac{V}{S}$ (理想模型：油滴分子为单分子油膜，分子间无间隙) 实验过程 1. 装水，撒粉： 用浅盘装入约 $2cm$ 深的水，将石膏粉或痱子粉均匀的撒到水面上 2. 配溶液： 向 $1ml$ 油滴中滴入 $499ml$ 的酒精，得到浓度为 $\frac{1}{500}$ 的油滴溶液(稀释) 注意： 酒精的作用：便于形成单分子油膜 不能取 $1ml$ 油滴和 $499ml$ 酒精来配，分子间有间隙 现配现用，酒精会挥发 3. 测总体积，滴数： 注射器取一部分油酸酒精溶液，一滴一滴的滴入水盆中，同时记录滴的数量(便于计算每一滴的油酸体积) 4. 滴入水，描玻璃： 油酸会在水面散开，等形状稳定后将一玻璃板盖在上方，用带方格的纸描出轮廓 注意： 痱子粉的作用：方便看清轮廓 格子纸的作用：方便计算面积 5. 数格子 计算被油滴完全包含的格子数量，若有超过半格的则按一格来算

[[油膜法估算油滴分子大小]]： [[扩散现象与布朗运动]]： [[分子速率分布规律]]： [[分子动能]]： [[热力学定律]]： [[理想气体状态方程]]：

热力学第一定律： 一个热力学系统的内能增量等于外界向他传递的热量+外界对他做的功 $$\Delta U=Q+W$$ 热力学第二定律： 一共有四种表述(后两种已删)： 不能自发的从低温转移到高温 不能全部以做功的形式转化为机械能(一定会产生损耗) 系统自发的向无序性增加的方向变化 系统总熵不会减少 热力学第三定律： 物体永远不可能冷却到绝对0度 本质：分子运动永不停息