矩阵乘法

发表于2077-03-02|更新于2025-03-06

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对于无后效性的序列递推，或者状态数较少的最优性 dp，考虑矩阵快速幂解决

Trick

分段矩阵快速幂，时间复杂度不会有很大的变化 Odd Steps，当分段处理相同的矩阵的乘法时，尝试预处理 $2$ 的次幂，这样子矩阵乘法时就可以省掉一个 $n$ (因为只需要处理一个行向量与一个矩阵的乘积) 老八
优化矩阵乘法的取模，可以考虑用一个int128的数组来存，计算完后统一取模

可以尝试用矩阵乘法来更简单的实现区间历史和

文章作者: my9r

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相关链接：[[矩阵树定理]]，[[欧拉回路]] 对于一个有向图，对于它的欧拉回路个数 $ec(G)$ ，有 $$ec(G)=root_{w}(G)\sum_{v\in V}(deg_v -1)!$$其中 $root_w(G)$ 表示以 $w$ 为根的 $G$ 的外向生成树有多少种注意BEST定理计算的是两点间若干条边有顺序的方案数，如果是 “某条边能够经过的次数” 则应当除去 $\frac{1}{w!}$ 将顺序消掉例题： # Counting Prefixes # C4

对于 DAG 上的节点，设 $f_{u}$ 表示以点 $u$ 为结束点的路径数，$g_u$ 表示从点 $u$ 开始的路径数，那么对于节点 $u$ 的所有出边，若存在一条边 $u \rightarrow v$ 使得 $2f_{v}>f_{u},2g_{v}>g_{u}$ ，那么我们则称 $u,v$ 是一条重边对于任意一条路径，其路径上的轻边数量一定是 $O(logn)$ 级别的，因为每走一次轻边路径数都会折半最常用的场景是在 [[后缀自动机]] 上快速的子串定位为什么不倍增跳呢？ #under_construction

本质：将一个 $k$ 维的立方体内的点压缩到序列上 $O(n^{1-\frac{1}{k}})$ 个不相交区间而这个序列就可以用正常方法去维护了例题：# P6783 Ynoi2008 rrusq

kmp的fail数组既可以指最长的前后缀长度，也可以指当前位的最长的前缀匹配，也可以指最长的循环节长度 #under_construction 字符串的所有前缀中，有多少个可以构成形如 “ABABA” 由 k 个A 组成的字符串通过不断跳fail的方式可以求出最短的前缀匹配，可以通过继承优化到 $O(n+m)$ 例子

考虑一个 $O(n)$ 预处理，$O(1)$ 查询的 RMQ 算法考虑将序列按照 $logn$ 进行分块，对于不在一个同块内部的询问，我们用ST表维护整块的信息，再额外维护块内的前后缀最大值即可对于在一个块内的查询，我们可以开一个单调栈维护一个前缀的单调下降序列，每一位使用一个整数状压单调栈内拥有的元素，查询 $l,r$ 时直接找 $r$ 对应的单调栈中第一个 $\ge l$ 的位置即可

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