状态压缩

发表于2077-03-02|更新于2025-03-06

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Trick

当需要预处理且卡空间时，可以考虑将状压数组滚动，按照 popcount 的大小去分割，空间复杂度 $O(C_{n}^{\frac{n}{2}})$ # 信号传递

当查询序列方案数，且序列是否合法只需要判断相邻两个元素时，可以考虑状压一个三进制数组表示某个元素左右都没安排元素/左右有一侧安排了元素/左右都安排了元素的方案数

文章作者: my9r

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相关链接：[[矩阵树定理]]，[[欧拉回路]] 对于一个有向图，对于它的欧拉回路个数 $ec(G)$ ，有 $$ec(G)=root_{w}(G)\sum_{v\in V}(deg_v -1)!$$其中 $root_w(G)$ 表示以 $w$ 为根的 $G$ 的外向生成树有多少种注意BEST定理计算的是两点间若干条边有顺序的方案数，如果是 “某条边能够经过的次数” 则应当除去 $\frac{1}{w!}$ 将顺序消掉例题： # Counting Prefixes # C4

对于 DAG 上的节点，设 $f_{u}$ 表示以点 $u$ 为结束点的路径数，$g_u$ 表示从点 $u$ 开始的路径数，那么对于节点 $u$ 的所有出边，若存在一条边 $u \rightarrow v$ 使得 $2f_{v}>f_{u},2g_{v}>g_{u}$ ，那么我们则称 $u,v$ 是一条重边对于任意一条路径，其路径上的轻边数量一定是 $O(logn)$ 级别的，因为每走一次轻边路径数都会折半最常用的场景是在 [[后缀自动机]] 上快速的子串定位为什么不倍增跳呢？ #under_construction

本质：将一个 $k$ 维的立方体内的点压缩到序列上 $O(n^{1-\frac{1}{k}})$ 个不相交区间而这个序列就可以用正常方法去维护了例题：# P6783 Ynoi2008 rrusq

kmp的fail数组既可以指最长的前后缀长度，也可以指当前位的最长的前缀匹配，也可以指最长的循环节长度 #under_construction 字符串的所有前缀中，有多少个可以构成形如 “ABABA” 由 k 个A 组成的字符串通过不断跳fail的方式可以求出最短的前缀匹配，可以通过继承优化到 $O(n+m)$ 例子

考虑一个 $O(n)$ 预处理，$O(1)$ 查询的 RMQ 算法考虑将序列按照 $logn$ 进行分块，对于不在一个同块内部的询问，我们用ST表维护整块的信息，再额外维护块内的前后缀最大值即可对于在一个块内的查询，我们可以开一个单调栈维护一个前缀的单调下降序列，每一位使用一个整数状压单调栈内拥有的元素，查询 $l,r$ 时直接找 $r$ 对应的单调栈中第一个 $\ge l$ 的位置即可

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